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将这个数列的生成函数设为P(x)×P(x)的定义如下，这同时是生成函数的的定义。
P(x)＝P<0>x<0次方>＋P<1>x<1次方>＋P<2>x<平方>＋P<3>x<立方>＋P<4>x<4次方>＋P<5>x<5次方>＋……
将P<0>，P<1>，……的值实际代入，由于n次的系数为P<n>，所以会变成下面的式子……
P(x)＝1x<0次方>＋1x<1次方>＋2x<平方>＋3x<立方>＋5x<4次方>＋7x<5次方>＋……
为了不让各项混在一起而假设出形式上的变量x，将数列以系数的形态拥抱在名为生成函数的母亲怀里。
接着下一步是求出生成函数的『对x的闭公式』。
在求斐波那契数列F<n>的时候，是用递推公式来求闭公式，以x将P(x)的系数做转换，真是令人怀念。
求卡塔兰数C<n>时，是用生成函数的积求出闭公式，也体会到『平分』的乐趣。
分拆数P<n>又是如何呢？而且也不是求出生成函数之后，问题就会像魔法一样解开，有必要找出关于这个数列的本质。
继续研究分拆数的生成函数吧，夜晚还很漫长。
10．4．1为了选出来
我在房间里绕着圈子思考，虽然动手调查具体的数字很重要，但这样下去只会让组合的数字爆发而已。在变成『超级大的数』之前，必须跳到广义的解法，也就是米尔迦口中「脑的运动」。思考，思考吧。
……我打开窗户呼吸着夜晚的空气，听着远方传来的狗叫声……为什么我会喜欢数学呢？数学到底又是什么呢？米尔迦是这么说的：
「如康托尔所说『数学的本质是自由』，尤拉老师是自由的，他将无限大或无限小的概念灵活运用在自己的研究上，无论是圆周率的π，虚数单位的i，或是自然对数的底e，都是尤拉老师开始使用的文字，老师在当时无法横渡的河上架一座桥，就像在柯尼斯堡上架设新桥一样。」
桥……我能在未来的某处架设出一道新的桥吗？
稍微脱离生成函数来思考看看，自己是不是曾经有解过类似的问题呢？回想起来、回想起来……
『……对不起，我记不住。』
『……不对，不是要记起来，而是要思考、思考。』
似乎和蒂蒂曾经有过这种互动呢，发现自己把『思考很重要』这件事情『记起来』后，我笑了，思考虽然很重要，回想也是一样啊。
和蒂蒂的对话是在演算二项式定理的时候，将(x＋y)<n次方>展开后，会出现组合的数，这让蒂蒂十分惊讶，也让她知道()<n,k>和<组合,n,k>是同样的意思。
(x＋y)将变为n次方时，会从n个(x＋y)因式中各自选出x或y，然后成为x与y积的项，整合同类项之后，就是选出的方法数。
例如(x＋y)3展开的时候，从x与y的各因式中提出3个，就会产生下面8个项。
(<x>＋y)＋(<x>＋y)＋(<x>＋y)＝xxx＝x<立方>
(<x>＋y)＋(<x>＋y)＋(x＋<y>)＝xxy＝x<平方>y
(<x>＋y)＋(x＋<y>)＋(<x>＋y)＝xyx＝x<平方>y
(<x>＋y)＋(x＋<y>)＋(x＋<y>)＝xyy＝xy<平方>
(x＋<y>)＋(<x>＋y)＋(<x>＋y)＝yxx＝x<平方>y
(x＋<y>)＋(<x>＋y)＋(x＋<y>)＝yxy＝xy<平方>
(x＋<y>)＋(x＋<y>)＋(<x>＋y)＝yyx＝xy<平方>
(x＋<y>)＋(x＋<y>)＋(x＋<y>)＝yyy＝y<立方>
将这些全部加起来『整合同类项』之后，就成为积的展开。
(x＋y)(x＋y)(x＋y)＝1x<立方>y<0次方>＋3x<平方>y<1次方>＋3x<1次方>y<平方>＋1x<0次方>y<立方>
系数的1，3，3，1就是符合选出3个x、2个x、1个x、0个x的方法数，也就是说，将系数以表示的话，会成为下式。
(x＋y)(x＋y)(x＋y)＝()<3,3>x<立方>＋()<3,2>x<平方>y<1次方>＋()<3,1>x<1次方>y<平方>＋()<3,0>y<立方>
回想到这里，脑海中浮现出蒂蒂佩服的