x)/(1×2×3×4×5)在同一平面直角坐标系内]
[插图：y＝sinx与y＝s<7>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)在同一平面直角坐标系内]
「喔……原来如此。学长，我不懂将sinx以幂级数表现是什么意思，虽然我能理解用『微分的规则』导出式子，但是会有种『所以呢？』的感觉。不过看到这张图，k变大之后sk(x)会接近sinx就懂了，这样慢慢贴近正弦函数的样子好可爱。」
「是啊。」
「那、那个……学长。虽然我不太会说，那个sinx……就只是个名称吧，只是将某个函数以sinx表示而已，泰勒展开式也是将同样的函数以幂级数的形式表现。就『sinx』与『幂级数』来说，虽然看起来相当不一样，但是函数的性质没有改变，所以，变成幂级数的形式会相当方便。唔……不好意思我不太会表达。」
「不，不会不会，蒂蒂，你真的很厉害，能清楚地了解本质，就是这样，在要研究函数的时候，能将函数以泰勒展开式的形式展开，可以在比较方便的多项式延长线上进行研究，例如能像刚才一样思考的话会非常有用，因为是无限次所以必须特别注意演算，可是改用幂级数就会十分方便，话说回来，解斐波那契数列和卡塔兰数的时候，用的生成函数也是幂级数。」
「……总觉得好像我在学校上课听讲时，都会去注意比较细微的地方。而不了解整体概要，所以对于要学什么及正在做什么都感到一片混乱。不过学长的话正好相反，细微的地方……就好像之后再让我自己补充一样快速略过，但是对于为什么和正在做什么这种大方向却很明白。」
「嗯～～不是这样，是因为蒂蒂的理解能力……」
「就是这样！」
蒂蒂打断了我要说的话。
「就是这样，学长，就像刚刚我完全不懂微分、幂级数和泰勒公式展开式这些词也是第一一次听到，不过我却懂了，用了泰勒展开式就能像普通的多项式一样研究函数，虽然要我一个人做可能还不行……不过将困难的函数变成无穷多项式——幂级数——xk的无限和的方法，我已经能掌握了。」
蒂蒂将拳头紧握在胸前。
「我想我不会忘记今天学长教过我的泰勒展开式，今天的我已经确实记下来了，当要研究函数的时候就『用泰勒展开式试试看吧』，这都是学长的功劳……」
她的目光突然从我的脸上移开，转向桌上的图表用纸，蒂蒂的脸上不知为何染上一抹嫣红。
「所以……所以……虽然我很抱歉浪费学长的宝贵时间，不过我很喜欢听学长说话，非常地喜欢。学长，我……」
蒂蒂边说边抬起头，看着我毅然说：
「……我一辈子都不会忘记学长教过我的泰勒展开式！」
9．4自家
夜晚。
我在自己的房间看着从村木老师那里拿来的卡片，设定给我的如下。
问题9－2
若以下无穷级数收敛则求其值，若非收敛则说明之。
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>
首先先将Σ具体写出来，抓住式子的感觉。
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝1/1<平方>＋1/2<平方>＋1/3<平方>＋1/4<平方>＋1/5<平方>＋……
虽然想进行下一步，不过似乎不是那么容易就能找到方法，先计算数值，也就是说，并非计算这个无穷级数，而是将这个的部分和以具体的n代入计算，白天都在注意蒂蒂的卡片，所以只计算到一半，先硬算看看。
Σ<k=1到1,1/k<平方>>＝1/1<平方>＝1
Σ<k=1到2,1/k<平方>>＝1＋1/2<平方>＝1.25
Σ<k=1到3,1/k<平方>>＝1.25＋1/3<平方>＝1.3611……
Σ<k=1到4,1/k<平方>>＝1.3611……＋1/4<平方>＝1.423611……
Σ<k=1到5,1/k<平方>>＝1.423611……＋1/5<平方>＝1.463611……
Σ<k=1到6,1/k<平方>>＝1.463611……＋1/6<平方>＝1.491388……
Σ<k=1到7,1/k<平方>>＝1.491388……＋1/7<平方>＝1.511797……
Σ<k=1到8,1/k<平方>>＝1.511797……＋1/8<平方>＝1.527422……
Σ<k=1到9,1/k<平方>>＝1.527422……＋1/9<平方>＝1.539767……
Σ<k=1到10,1/k<平方>>＝1.539767……＋1/10<平方>＝1.549767
嗯，还是不懂，画图看看吧。