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「发现『规则性』了！」
「嗯，左边的1写成＋1或许比较好，现在要求的是序列a<k>，将上式的各个a<k>整理到左边，5×4×3×2×1由于是阶乘，所以写成5!，这样就能做幂级数展开了，将下式的ak具体地写出来。」
sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
「好的！0不用管，所以就是a<1>，a<2>，a<3>，…………好，完成了！」
「嗯，蒂蒂所写的这个幂级数展开，被称为sinx的泰勒展开式喔。」
※※sinx的泰勒展开式
sinx＝＋(x<1次方>/1!)－(x<立方>/3!)＋(x<5次方>/5!)－(x<7次方>/7!)＋……
「我正想说是蒂德菈展开式呢……」
「……」
「……」
「……」
「……不、不过这好像很难记起来，好复杂。」
「确实是很复杂，不过你仔细看，式子里远留下许多推导时的痕迹，例如分母的1!，3!，5!这些阶乘就是不断微分指数、数字下降的结果。＋与－号的交错，没有x的偶次方项，这都是来自0，＋1，0，－1的环，自己动手导出的公式并不容易忘记。」
「哈哈……原来如此，或许没那么难……吧。」
「假如故意不用阶乘与乘幂来写的话，就会形成很有节奏感的有有趣算式。」
sinx＝＋(x/1!)－((x×x×x)/3!)＋((x×x×x×x×x)/5!)－((x×x×x×x×x×x×x×x)/7!)＋……
「咦……看起来好漂亮，这样写也可以吗？」;
「当然没问题，为了增加乐趣或是方便理解，可以试试很多种不同的写法喔，尤拉也曾经在书里把x<平方>写成xx，不过考试的时候写成x×x就不太好，那么现在就可以解答卡片上的问题9－1了。」
「咦？啊，好的，我已经忘了卡片的事了……是这个吧。」
※※问题9－1
假设函数sinx如下展开幂级数，求此时之序列a<k>。
sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>
「可以依照k除以4所得的余数将数列a<k>分类。」我说。
※※解答9－1
a<k>＝0k除以4得到的余数为0的时候
a<k>＝＋1/k!k除以4得到的余数为1的时候
a<k>＝0k除以4得到的余数为2的时候
a<k>＝－1/k!k除以4得到的余数为3的时候
9．3．4函数的极限
「话说回来，现在稍微深入思考一下sinx的泰勒展开式的内涵，再写一次sinx的泰勒展开式。」
「那个……可以写有节奏感的泰勒展开式吗？总觉得想写写看。」
sinx＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)＋……
「蒂蒂，这个式子是无穷级数——也就是由无限个项构成的和，从无穷级数中取出有限个的部分和思考看看，在这里将到xk项为止的部分和设做s<k>(x)，当然s<k>(x)也是x的函数。」
s<1>(x)＝＋x/1
s<3>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)
s<5>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)
s<7>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)
我从背包里拿出图表用纸。
「画画看函数s<1>(x)，s<3>(x)，s<5>(x)，s<7>(x)，……的图，也就是将y＝s<k>(x)以k＝1，3，5，7，……描绘，就可以清楚地发现这个函数会渐渐接近sinx。我将图画出来。
[插图：y＝sinx与y＝s<1>(x)＝x/1在同一平面直角坐标系内]
[插图：y＝sinx与y＝s<3>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)在同一平面直角坐标系内]
[插图：y＝sinx与y＝s<5>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×