微分
「我知道了，接下来求a<2>。」
－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……刚才得到的式子
(－sinx)’＝(2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……)’将两边微分
－cosx＝6a<3>＋24a<4>x＋……用『微分的规则』
－cos0＝6a<3>代入x＝0
a<3>＝-1/6用cos0＝1将式子整理
「……好的，求出a<3>＝-1/6了，再来是a<4>……」
「稍等一下，虽然一个一个求下去也是可以，不过试着统整全体看看，没问题吧？」
「咦？……啊！没问题！」
9．3．3sinx的泰勒展开式
我们喝着已经冷掉的咖啡，将笔记本翻到新的一页，我给她口头上的提示，蒂蒂自己在笔记本中写上算式。
「现在我们要做sinx的幂级数展开，刚才已经求出了系数中的a<0>，a<1>，a<2>，a<3>四个数，接着就是要统整，再写一次sinx的幂级数展开吧。」我说。
「好的，是这样吧。」
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……
「嗯，这样就好，对了，将x写成x<1次方>吧。」
sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……
「两边同时微分，不过现在不要将系数计算出来，以积的形式保留下来，这是关键。」
「咦？学长……不要计算吗？」
「没错，不要计算，让积保留下来比较容易找出『规则性』。来，试试看，要特别注意常数项。」
sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>……
↓微分
cosx＝1×a<1>＋2×a<2>x<1次方>＋3×a<3>x<平方>＋4×a<4>x<立方>＋5×a<5>x<4次方>……
↓微分
－sinx＝2×1×a<2>＋3×2×a<3>x<1次方>＋4×3×a<4>x<平方>＋5×4×a<5>x<立方>……
↓微分
－cosx＝3×2×1×a<3>＋4×3×2×a<4>x<1次方>＋5×4×3×a<5>x<平方>……
↓微分
sinx＝4×3×2×1×a<4>＋5×4×3×2×a<5>x<1次方>＋……
↓微分
cosx＝5×4×3×2×1×a<5>＋……
↓微分.
.
.
「好的！」
「学长！我找到『规律性』了，会出现5×4×3×2×1这样规则的积……原来如此，『微分的规则(2)』的『指数会下降』发挥效果了，我已经了解相乘数会有规则的变化。」
「没错没错，自己动手写出算式就能清楚体会这种感觉，不能只是看，动手写也是很重要的，蒂蒂。」
「真的是这样。」
「接下来就用求出的导函数，以x＝0观察式子会变成怎么样吧。」
「好的，是像小时候的牵牛花观察日记一样观察吧……嗯，因为sin0＝0且cos0＝1……」
0＝a<0>
＋1＝1×a<1>
0＝2×1×a<2>
－1＝3×2×1×a<3>
0＝4×3×2×1×a<4>
＋1＝5×4×3×2×1×a<5>