a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……
(sinx)’＝(a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……)’
「微分的结果会像下面的算式，能理解吗，蒂蒂？」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……
她反复看了看『微分的规则』与上面的式子。
「嗯……左边是『微分的规则(3)』吧，sinx微分会变成cosx，然后右边将『微分的规则(2)』用在各项。」
「没错，虽然本来应该要先证明可以适用在微分算子的线性与幂级数上。」
「啊，不过为什么a<0>消失了？」
「因为a<0>，是与x无关的常数，所以用『微分的规则(1)』消去，常数的微分会变成0。」
「我懂了，学长，我理解『微分的规则』怎么导出以下的式子了。」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……
9．3．2再微分
「那么看看下面的式子，蒂蒂知道a<1>的值吗？假如看y＝cosx的图应该就知道了。」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……
[插图：y＝cosx]
「咦？……啊，难道说和刚才一样吗？将0代入cosx＝……的式子就好了吧？嗯……这样子对吗？」
cosx＝a<1>＋2a<2>×0＋3a<3>×0<平方>＋4a<4>×0<立方>＋……
＝a<1>
「然后从图中得cos0＝1，所以……会变成这个答案吧！」
a<1>＝1
「没错。」我点点头。
蒂蒂的脸上浮现出笑容。
「学长！我看到之后要怎么做了！接下来要把cosx微分吧？」
「没错，就是这样，为此需要(cosx)’的计算规则，这是cosx用的『微分的规则』。」
※※『微分的规则(4)』cosx微分会变成－sinx。
(cosx)’＝－sinx
「这样的话，把cosx微分……」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……
(cosx)’＝(a<1>＋2a<2>x＋3a<3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……)’
「就会变成这样！」抬起头的蒂蒂脸上泛起红潮。
－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……
「嗯，没错，这要求的系数是？」我问。
「是a<2>，就像之前一样代入x＝0。」蒂蒂迅速地写在笔记本上。
－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……由上述所得的式子
－sin＝2a<2>代入x＝0
a<2>＝0用sin0＝0整理式子
「这样就求出a<2>＝0了，我似乎充分地运用最强的武器了，状况越来越好……好的，下一个『微分的规则』是什么？」
「已经不用了。」
「但是这次要－sinx……啊，这可以sinx的微分得到。」
「没错，之后就是反复绕圈。」
「绕圈？」
「将sinx微分就变成cosx，将cosx微分就变成sinx……会变成下面所列的『以4次为周期的循环』，这就是三角函数微分的特征。」我对蒂蒂讲解性质。
※※三角函数微分
微分
sinx→cosx
微分↑↓微分
－cosx←－sinx