第一卷 正文

r />   若不准备好解析无限的方法,

  这些无穷级数具备着无法一探究竟的性质。

  ——尤拉[25]

  9.1图书室

  9.1.1两张卡片

  「学长~~信来了!」

  总是充满活力的蒂蒂跑向我,挥舞手上的卡片并大声呼喊我的名字,不过音量稍微……

  「蒂蒂,这里是图书室,而高中生的我们需要安静,所以请轻声细语。」

  「啊,是的……对不起。」她回过神后低下头,不好意思地看了看周围。

  一如往常的图书室,一如往常的放学后,一如往常的活力少女——蒂蒂。

  确实图书室里只有我们……但是太过吵闹而惊动管理员瑞谷老师就麻烦了。

  「嗯……来,这是学长的卡片。」她将手上的两张卡片看了一会儿,递给我其中一张,然后说:「这是我的」,而将另一张卡片放在胸前。

  「咦?蒂蒂也拿到村木老师的卡片吗?」

  「嘿嘿嘿,是啊,我跟村木老师说『学长正在数我数学』,结果老师就拿了卡片给我,说一张是我的,另一张给学长,就是这样,所以我今天是邮差喔。」

  蒂蒂露出纯真的笑容。

  我的卡片上写着这样的式子。

  ※※(我的卡片)

  Σ<k=1到∞,1/k<平方>>

  而蒂蒂的卡片则是……

  ※※(蒂蒂的卡片)

  sinx=Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

  「学长,我的卡片是『研究课题』吧?」恢复认真表情的蒂蒂在我旁边坐下后发问。

  「没错,『研究课题』……以这张卡片为出发点,自己做出问题,自由地思考,村木老师有时候会出这种问题给我们。」

  蒂蒂将脸凑近用双手拿着的卡片,应该是在思考式中的意思。

  「那个……学长,像sinx=Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>这种方程式,我怎么解都解不开。」

  「蒂蒂,这不是求x的问题,也就是说,这个式子不是方程式。」我笑着回答。

  「不是……方程式?」

  「嗯,这不是方程式,而是恒等式,想办法让这张卡片上的式子变成恒等式——也就是要对所有x成立——要我们求出数列a<0>,a<1>,a<2>,……的问题。」

  「呃,这个……学长,可以先教我一点开头吗?实际解问题时我会自己加油的……只要一开始的部分就好。」

  蒂蒂说完话,她的手像是抓着透明的楼梯般地一层一层往上爬,这楼梯大概会一直朝天空延伸下去……

  直到无限的远方为止。

  9.1.2无穷多项式

  「那试试看像这样设定问题吧。」我边说边在蒂蒂的卡片上写下问题。

  ※※问题9-1

  假设函数sinx如下展开幂级数,求此时之序列a<k>。

  sinx=Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

  「幂级数……是……?」

  「幂级数就是这张卡片右边的无穷多项式,多项式则是……例如,你知道对x的二次多项式吧?」

  「这个吗?」蒂蒂打开笔记本。

  ax<平方>+bx+c二次多项式(?)

  「是的,但是严密来说不正确,必须再加上a≠0这个条件,不然的话……假如a=0,b≠0就不是二次多项,而是一次多项式了,将加上去试看看。」

  「好的。」

  她马 上回答并动手写在笔记本上,真纯真。

  ax<平方>+bx+c二次多项式(a≠0)

  「那个,学长……无穷多项式是这样写吗?总觉得很奇怪。」

  ax<∞次方>+bx<∞-1次方>+cx<∞-2次方>+……无穷多项式(?)

  原来如此,蒂蒂会写成这样……

  「不对不对,这样太麻烦了,蒂蒂,无穷多项式要从次数小的项开始写,不然会变成在指数部分加上∞的奇怪状况,无限次方的『无限』部分由最后的删节号(……)表现,比较下面这两个式子就很清楚。」

  a<0>+a<1>x+a<2>x<平方>二次多项式(a<2>≠0)

  a<0>+a<1>x+a<2>x<平方>+……无穷多项式(幂级数)

  「啊,原来如此。先写x的指

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