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若不准备好解析无限的方法,
这些无穷级数具备着无法一探究竟的性质。
——尤拉[25]
9.1图书室
9.1.1两张卡片
「学长~~信来了!」
总是充满活力的蒂蒂跑向我,挥舞手上的卡片并大声呼喊我的名字,不过音量稍微……
「蒂蒂,这里是图书室,而高中生的我们需要安静,所以请轻声细语。」
「啊,是的……对不起。」她回过神后低下头,不好意思地看了看周围。
一如往常的图书室,一如往常的放学后,一如往常的活力少女——蒂蒂。
确实图书室里只有我们……但是太过吵闹而惊动管理员瑞谷老师就麻烦了。
「嗯……来,这是学长的卡片。」她将手上的两张卡片看了一会儿,递给我其中一张,然后说:「这是我的」,而将另一张卡片放在胸前。
「咦?蒂蒂也拿到村木老师的卡片吗?」
「嘿嘿嘿,是啊,我跟村木老师说『学长正在数我数学』,结果老师就拿了卡片给我,说一张是我的,另一张给学长,就是这样,所以我今天是邮差喔。」
蒂蒂露出纯真的笑容。
我的卡片上写着这样的式子。
※※(我的卡片)
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>
而蒂蒂的卡片则是……
※※(蒂蒂的卡片)
sinx=Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>
「学长,我的卡片是『研究课题』吧?」恢复认真表情的蒂蒂在我旁边坐下后发问。
「没错,『研究课题』……以这张卡片为出发点,自己做出问题,自由地思考,村木老师有时候会出这种问题给我们。」
蒂蒂将脸凑近用双手拿着的卡片,应该是在思考式中的意思。
「那个……学长,像sinx=Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>这种方程式,我怎么解都解不开。」
「蒂蒂,这不是求x的问题,也就是说,这个式子不是方程式。」我笑着回答。
「不是……方程式?」
「嗯,这不是方程式,而是恒等式,想办法让这张卡片上的式子变成恒等式——也就是要对所有x成立——要我们求出数列a<0>,a<1>,a<2>,……的问题。」
「呃,这个……学长,可以先教我一点开头吗?实际解问题时我会自己加油的……只要一开始的部分就好。」
蒂蒂说完话,她的手像是抓着透明的楼梯般地一层一层往上爬,这楼梯大概会一直朝天空延伸下去……
直到无限的远方为止。
9.1.2无穷多项式
「那试试看像这样设定问题吧。」我边说边在蒂蒂的卡片上写下问题。
※※问题9-1
假设函数sinx如下展开幂级数,求此时之序列a<k>。
sinx=Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>
「幂级数……是……?」
「幂级数就是这张卡片右边的无穷多项式,多项式则是……例如,你知道对x的二次多项式吧?」
「这个吗?」蒂蒂打开笔记本。
ax<平方>+bx+c二次多项式(?)
「是的,但是严密来说不正确,必须再加上a≠0这个条件,不然的话……假如a=0,b≠0就不是二次多项,而是一次多项式了,将加上去试看看。」
「好的。」
她马 上回答并动手写在笔记本上,真纯真。
ax<平方>+bx+c二次多项式(a≠0)
「那个,学长……无穷多项式是这样写吗?总觉得很奇怪。」
ax<∞次方>+bx<∞-1次方>+cx<∞-2次方>+……无穷多项式(?)
原来如此,蒂蒂会写成这样……
「不对不对,这样太麻烦了,蒂蒂,无穷多项式要从次数小的项开始写,不然会变成在指数部分加上∞的奇怪状况,无限次方的『无限』部分由最后的删节号(……)表现,比较下面这两个式子就很清楚。」
a<0>+a<1>x+a<2>x<平方>二次多项式(a<2>≠0)
a<0>+a<1>x+a<2>x<平方>+……无穷多项式(幂级数)
「啊,原来如此。先写x的指