; 我看着式子思考。
「嗯……啊，原来如此，没错，由于质数p<k>是2以上，所以等比级数1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……会收敛在1/(1－1/p<k>)，也就是会成为有限的数值。」
「没错，所以从现在开始会变得更有趣。」
说完话的米尔迦伸出细舌慢慢地舔着上唇。
「将刚才对2与3做的事情同样地移到对m个质数上，也就是在有限的前提下具体地展开算式，用你的表现方式来说，这次不是两个质数『平分』，而是m个质数『平分』。」
Q<m>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……)……(1/p<m><0次方>＋1/p<m><1次方>＋1/p<m><平方>＋……)
＝(1/(2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><0次方>))＋((1/(2<1次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><0次方>)＋……＋(1/(2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><1次方>))＋……——以指数和分类
＝Σ<k=0到∞,Σ<,1/(2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>)>>『和的形式』
「会变成这样的式子。」米尔迦说。
「这、这个……最后的式子我不太懂，特别是内侧的Σ什么都没有写。」
「虽然什么都没有写，不过内侧的Σ满足r<1>＋r<2>＋……＋r<m>＝n，故取r1，r2，……，r<m>做为全部的总和。」
「这就是『指数之和为n的全部组合』吗，米尔迦？」
「没错。简单地说，Q<m>就是1/(质数的积)各项的和，将p<k>的指数以n表示，让指数之和的全部组合为n，取出1/(质数的积)的和。接下来注意分母，也就是『质数的积』的部分，会变成这样。」
2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>
「从反证法的假设，世界上的质数只有m个，从质因子分解的唯一性可知，全部的正整数2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>有唯一的分解法，也就是说……将Q<m>展开的各项1/(质数的积)的分母中，所有的正整数必然只会出现一次。」
「嗯……这和刚刚的2和3情况一样。」
「分母中『所有的正整数必然会只出现一次』，也就是下式会成立的意思。」
Q<m>＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4
「啊！」是调和级数。
「你终于发现了。」
「明明Q<m>是有限，但是总和却会发散。」
「没错，由收敛的无穷等比级数可知Q<m>是有限的。」米尔迎接二连三地说下去。
Q<m>＝∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)>(有限的值)
「然而现在Q<m>又等于调和级数Σ<k=1到∞,1/k>。」
Q<m>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数)
「也就是会形成下式。」
∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)＝Σ<k=1到∞,1/k>
「左边是由反证法的假设得到质数为有限个，右边是从调和级数得到『向正无限大发散』，所以两式矛盾。」
「！」我说不出话来。
「从反证法的假设『质数为有限个』导出的矛盾，因此假设为否，命越为真，表示『质数有无数存在』，QuodEratDemonstrandum……证明终了。」
米尔迦竖起食指发出宣言。
「好，就到此告一段落了。」
调和级数的发散竟然会与证明质数的无限有关连……真让人吃惊，这可是相当贵重的宝物。
「这完美的证明是从被称赞为『他计算起来好像一点也不费力，有如人呼吸空气、老鹰乘风飞翔一样』的老师得来的。」
「我们的老师是……？」
「就是十八世纪最伟大的数学家——莱昂哈德×尤拉啊。」
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