以此类推，在离散世界对应㏒<以e为底，x>的函数L(x)会满足下面的差分方程式，并将平常的－1次方取代为递降阶乘的－1次方。
ΔL(x)＝x<－1次递降阶乘>满足函数L(x)的差分方程式
不过之前和米尔迦讨论的时候，只考虑到递降阶乘x<n次递降阶乘>中n＞0的状况而已。
※※递降阶乘的定义(n为正整数)
x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))
这样的话，必须适当地考虑在n≤0的状况要如何定义x<n次递降阶乘>。
n＝4，3，2，1的时候，x<n次递降阶乘>会如同下面的式子。
x<4次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)(x－3)
x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)
x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)
x<1次递降阶乘>＝(x－0)
仔细观察的话，可以知道以下性质。
×x<4次递降阶乘>除以(x－3)的话会得到x<3次递降阶乘>。
×x<3次递降阶乘>除以(x－2)的话会得到x<2次递降阶乘>。
×x<2次递降阶乘>除以(x－1)的话会得到x<1次递降阶乘>。
将这性质自然延伸的话，会变成下面的规则。
×x<1次递降阶乘>除以(x－0)的话会得到x<0次递降阶乘>。
×x<0次递降阶乘>除以(x＋1)的话会得到x<－1次递降阶乘>。
×x<－1次递降阶乘>除以(x＋2)的话会得到x<－2次递降阶乘>。
×x<－2次递降阶乘>除以(x＋3)的话会得到x<－3次递降阶乘>。
然后会变成下面的式子。
x<0次递降阶乘>＝1
x<－1次递降阶乘>＝1/(x＋1)
x<－2次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2))
x<－3次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2)(x＋3))
※※递降阶乘的定义(n为整数)
x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))n＞0时
x<n次递降阶乘>＝1n＝0时
x<n次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2)(x＋3)……(x＋(－n))n＜0时
接着回到对数函数吧，目标是解出下面的差分方程式。
ΔL(x)＝x<－1次递降阶乘>
左边以Δ的定义变成L(x＋1)－L(x)。
右边以x－1的定义变成1/(x＋1)，所以差分方程式会变成下面的式子。
L(x＋1)－L(x)＝1/(x＋1)L(x)的差分方程式
要是能从这里求出L(x)就好了……咦？
咦？
L(x＋1)－L(x)＝1/(x＋1)不是和蒂蒂之前讲到的式子相同吗？嗯……是这个。
H<n＋1>－H<n>＝1/(n＋1)调和数H<n>的递推公式
L(x)的差分方程式和调和数H<n>的递推公式居然完全一样！既然这样，就定义L(1)＝1吧，可以得到下面这种简洁的关系式。
L(x)＝Σ<k=1到x,1/k>
使用调和数的标记法H<n>，就会变成下面的模式。
L(x)＝H<x>x为正整数
这样就解决问题8－3了。
解答8－3
L(x)＝Σ<k=1到x,1/k>
＝H<x>
然后可以做出下面这样的对应关系。
※※对数函数与调和数的关系
连续世界←→离散世界
㏒<以e为底，x>←→H<x>＝Σ<k=1到x,1/k>
不过对于对数函数和调和数有什么密切的关联，还是没什么感觉。
等一下，在讨论『微分和差分