于拿起粉笔，开始在黑板上写下：
「这是黎曼函数ζ(s)的定义，黎曼的ZETA函数。」
ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)
米尔迦继续写下去。
「ζ(s)被以无穷级数的型式定义，这里的s＝1就是调和级数，用的是HarmonicSeries第一个字母H，写做H<∞>。」
H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数的定义式)
「也就是说，黎曼函数中s＝1的式子就等于调和级数？」
「是这样啊……那我和蒂……我想到的无穷级数与ζ(1)就是一样的。」
村木老师出给我和米尔迦的是相同的问题吗？原来H是Harmonic的第一个字母。
无视我说的话，米尔迦继续说下去。
「下面的部分和Hn称为调和数。」
H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(调和数的定义式)
「也就是当n→∞，调和数H<n>→调和级数H<∞>。」
教室里回荡着米尔迦用粉笔写黑板的声音。
H<∞>＝lim<n→∞,H<n>>(调和级数与调和数的关系)
「因为调和数H<n>是n→∞，所以向正无限大发散。」
lim<n→∞,H<n>>＝∞
「因此调和级数也是向正无限大发散。」
H<∞>＝∞
「也就是说ζ(1)是向正无限大发散。」
ζ(1)＝∞
「为什么能说『调和级数是向正无限大发散』……」
到这里米尔迦终于向我笑了一下，她已经回复到平常的模式了。
我在呆然的状态下向她说明我写给蒂蒂的式子，是以m为0以上的整数，利用H<2<m次方>>≥1＋m/2成立的证明。
「没错，你的证明和14世纪奥雷姆用的是相同的方法。」米尔迦说到。
※※黎曼函数、调和极数、调和数
ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)
＝H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数的定义式)
＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(调和数的定义式)
米尔迦这时闭上眼睛，仿佛指挥般用手指划了一个L型，然后张开眼说：
「你还记得在离散的世界找出指数函数的事吗？」
「嗯，还记得。」印象中是做出差分方程式解开问题的。
「那么这个问题如何？在离散的世界中试着找出『指数函数的反函数』……也就是对数函数。」
※※问题8－3
对应连续世界的对数函数㏒<以e为底，x>，定义离散世界的函数L(x)
连续世界←→离散世界
㏒<以e为底，x>←→L(x)＝？
「那我要回去了，你慢慢想吧。」
米尔迦上将手上的粉笔灰弄掉之后走向教室门口，接着她回头对我说：
「先告诉你一件事。你的缺点就是不画图，数学可不是只有式而已。」
8．7两个世界，四种演算
夜晚。
我在自己的房间里打开笔记本，思考着米尔迦的问题8－3。
是在离散的世界中，找出对应对数函数㏒<以e为底，x>的函数问题。
以前调查指数函数的时候，解决了将De<x次方>＝e<x次方>与ΔE(x)＝E(x)互相对应的问题，成功地将微分方程式与差分方程式彼此对应。
这次就从对应对数函数的微分方程式开始吧。
我曾在书上看过对数函数㏒<以e为底，x>的微分。
f(x)＝㏒<以e为底，x>
↓微分
f’(x)＝1/x
将『微分之后变成1/x』这个性质，当成是满足对数函数的微分方程式思考，由于1/x也可以写作x<－1次方>，所以可以用『微分之后变成x<－1次方>』表现，用米尔迦以前用过的微分算子D来写的话，就变成下列式子。
D㏒<以e为底，x>＝x<－1次方>满足对数函数的微分方程式。