要你赶快用解析函数的基本技术。」米尔迦有点不悦地回答。
「什么？」
「微分。把K(x)用x微分的话，数列就会变换，常数项会变成K1。
K(x)＝K0＋K1x<1次方>＋K2x2＋K3x3＋……＋Knxn＋……
↓↓ ↓ ↓
K’(x)＝1K<1>＋2K<2>x<1次方>＋3K<3>x<平方>＋……＋nK<n>x<n－1次方>＋……
所以……
K’(0)＝1K<1>
知道为什么要明白写出1了吧？因为微分会让指数下降，这是为了区别它的规律，到这里就轻松了，将K’(x)再微分会得到下列式子。
K’’(x)＝2×1K<2>＋3×2K<3>x<1次方>＋……＋n×(n－1)K<n>x<n－2次方>＋……
所以当x＝0时，会出现下面的式子。
K’’(0)＝2×1K<2>
之后就不断地重复，将K(x)微分n次以K<(n),>(x)表示的话，
K<(n),>(x)＝n(n－1)(n－2)……2×1K<n>＋(n＋1)n(n－1)(n－2)……真是麻烦……
因为太长了，就用递降阶乘书写。
K<(n),>(x)＝n<n次递降阶乘>K<n>
＋(n＋1)<n次递降阶乘>K<n>＋1x<1次方>
＋……
＋(n＋k)<n次递降阶乘>K<n＋k>x<k次方>
＋……
所以令x＝0会变成这个算式。
K<(n),>(0)＝n<n次递降阶乘>K<n>
也就是用K<(n),>(0)可以表示K<n>，简单地说就是泰勒展开式。
K<n>＝K<(n),>(0)/n<n次递降阶乘>
到这里告一段落。」
米尔迦喘了一口气。
「嗯，不过到这里就无法继续下去了，已经没路了。」我说。
「为什么这说呢？现在已经用幂级数捉住K(x)了，接下来就用普通的函数型式捕捉吧。」
「捕捉？」
「使用解析函数的基本技术，还是微分。」
说完话的米尔迦对我眨眨眼，这或许是她第一次有那纯真的表现。
「回想K(x)的定义……
K(x)＝<根号1－4x>
……也就是说，由于平方根是1/2次方，所以……
K(x)＝(1－4x)<1/2次方>
一边注意规律，一边反复地微分。
K(x)＝(1－4x)<1/2次方>
K’(x)＝2×(1－4x)<-1/2次方>
K’’(x)＝－2×2×(1－4x)<-3/2次方>
K’’’(x)＝－2×4×3×(1－4x)<-5/2次方>
K’’’’(x)＝－2×6×5×4×(1－4x)<-7/2次方>
K<(n),>(x)＝－2×(2n－2)<n－1次递降阶乘>×(1－4x)<-(2n－1)/2次方>
K<(n＋1),>(x)＝－2×(2n)<n次递降阶乘>×(1－4x)<-(2n＋1)/2次方>
将x＝0代入就形成最后的式子。
K<(n＋1),>(0)＝－2×(2n)<n次递降阶乘>
再把刚才用幂级数求得的式子，就是你说没办法继续下去的那个式子拿出来，用n＋1思考。
K<n＋1>＝K<(n＋1),>(0)/(n＋1)<n＋1次递降阶乘>
从这两个式子，可以得到下面的算式。
K<n＋1>＝(－2×(2n)<n次递降阶乘>)/(n＋1)<n＋1次递降阶乘>
这样就得到K<n＋1>了，完全不是死路，你还记得K<n>和C<n>的关系吗？