;用C<0>＝1代入，将式子作整理。
x×C(x)<平方>＝C(x)＋1＝0
得出了C(x)的二次方程式，令x≠0然后求解舍得到下式。
C(x)＝(1±<根号1－4x>)/2x
嗯。
很顺利。
从生成函数的积做出漂亮的「积的和」，然后导出闭公式，没想到生成函数的积会这么有用。
不过我还不晓得为什么会有两个一正一负生成函数，而且<根号1－4x>的部分又是怎么回事？似乎还有很深的谜。
不过不管怎么说，n都已经消掉了。
我导出了生成函数C(x)的闭公式。
之后就是将这个闭公式以幂级数展开就好。
7．5图书室
7．5．1米尔迦的解
隔天放学后的图书室里，米尔迦坐在我的身旁。
「原本想用递推公式的……」米尔迦先开口：「……不过中途改变方针了。」
「咦？不用递推公式解吗？」
「我没有用递推公式来解，因为我找到了更好的对应。」
(更好的对应？)
我打开笔记本，米尔迦迅速地在上面写。
「以n＝4来举例。
((0＋1)＋(2＋(3＋4)))
仔细观察的话，即使『括号的后半』消掉了也可以复原。
((0＋1＋(2＋(3＋4
能让括号可以复原的，就是『加号连结两个项』的限制。」
「原来如此，只要在即将出现的两个项时插入括号的后半就可以了。」我了一下回答她想，我虽然放弃了，但是没想到((A＋A)＋(A＋(A＋A)))可以更简化。
米尔迦的嘴唇微微上扬露出微笑。
「说得更明白一点，数字根本就不必要，可以直接变成……
（（＋＋（＋（＋
这是可以复原的，只要在加号的左侧填入数字，不过最后的4要写在右侧。」
「原来如此。」我说。
「简单来说括括号方法的总数就是『括号前半』与『加号』的排列组合，以n＝4来说，就是4个括号前半与4个加号的排列，假设以8个＊并排。
＊＊＊＊＊＊＊＊
然设将其中4个变成括号前半。
（（＊＊（＊（＊
然后再将剩下来的*自动变成加号。
（（＋＋（＋（＋
从8个符号里（括号与加号各4个），选出变为括号前半的4个演算组合就是()<8,4>，这是n＝4的情况，广义化则是从2n个文字中（括号与加号各n个)，选出变为括号前半的n个作组合，也就是()<2n,n>……像这样组合的话，也等同于下图中方格路径的最短路线，从左下的S开始，到右上的G，箭头指的道路对应（（＋＋（＋（＋的文字列。」
[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右上右上右，从S点一直描到G点]
「那么，接下来……」
「等一下」……我打断了滔滔不绝的米尔迦。
「米尔迦，这里有点奇怪。因为这并不是在8个之中任意取4个，譬如说，就算将括号与加号各取4个也不能排成这样啊。
（（＋＋＋＋（（
将这个对应在你画的图上就知道了，这个图表不能经过有◎的地方再到达终点。」
[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右上右上右，从S点一直描到G点。之后在S点右边一个格的交叉点处画◎，并在其右上方45度角的所有交叉点上画◎]
被打断话的米尔迦嘟起嘴抱怨：「我还没说完啊。」
◎◎◎
「我还没说完啊。在排列括号与加号时，有着加号数量不能超过括号数量的限制。
当加号数量超过括号数量的时候，就会像你说的一样，也就是上图中通过◎的状况，不通过◎而从S到G的方法数才会等于C<n>。
不考虑限制的话，从S到G的方法有()<2n,n>。」
那么，从S到G之间曾经通过◎一次以上的方法数又有多少呢？
将第一次碰到◎的地方设为P，在通过P之后将前进的方向政变，把斜虚线当成镜子，从P→G之间原本是→的话就改成↑，原本是↑的话，就改成→，也就是说终点不是G而是G’。