4xx｜yyyy
k＝5x｜yyyyy
k＝6｜yyyyyy
「啊……从x到y慢慢地移动。」
没错，将全部n次方分配到x与y上，就像『平分』围巾一样。
「学、学长！你还记得这个话题啊……」
7．4于自家中解生成函数的积
夜深了，家人也都睡了，我独自在房间静下来思考。C<n>的递推公式已经完成了。
C<0>＝1
C<n＋1>＝C<k>C<n－k>(n≥0)
而我接下来想尝试一样东西，那就是生成函数的解法。
米尔迦和我曾寻找过斐波那契数列的一般项，那时候她将数列与生成函数做了对应，我们在两个国度——『数列之国』与『生成函数之国』中环绕。
我打开笔记本，一边搜寻记忆一边开始写下。
当得到数列a<0>，a<1>，a<2>，……，a<n>……之后，就将数列各项的系数以a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<n>x<n次方>＋……形式的幂级数来表现，这就是生成函数，然后以下面的对应关系，将数列与生成函数视为一样的东西……
数列←→生成函数
a<0>，a<1>，a<2>，……，a<n>……←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<n>x<n次方>＋……
如此对应的话，就可以将无穷的数列以一个生成函数呈现，而且若是将生成函数以闭公式表现，就会得到数列一般项的闭公式这个令人赞叹的结果。
我和米尔迦使用生成函数求得斐波那契数列的一般项，就像原本捧在手上快要散落的数列，被名为生成函数的一条线串了起来，那真是一次难以言喻的经验。
我想用这种解法来解开这次的问题。
※※(求Cn闭公式的旅行地图)
数列C<n>→生成函数C(x)
↓
数列C<n>的闭公式←生成函数C(x)的闭公式
由n个加号构成的式子设成C<n>，则得数列C<0>，C<1>，C<2>，……，C<n>……。
再将此数列之生成函数设为C(x)，x是为了不让数列混乱的形式上变数，x<n次方>的指数n会与C<n>的n对应，则C(x)会如下所示。
C(x)＝C<0>＋C<1>x＋C<2>x<平方>＋……＋C<n>x<n次方>＋……
以上是生成函数的定义，到这里为止还不需要动脑筋，没错，要到生成函数的国度是很简单的。
要动脑的部分从现在才开始。
现在我手上拥有的武器只有C<n>的递推公式而已，下一步是要用递推公式求C(x)的闭公式，我想求出C(x)的『对x的闭公式』，而这个式子应该不会出现n。
不过，这次的递推公式不像斐波那契数列那时候一样单纯，那时候确实是在生成函数中乘上x，然后不断地『移动』系数，最后相加相减才将n消掉。
但是这次的递推公式C<n＋1>＝Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>相当麻烦，是在C<k>C<n－k>这个积上再加入了Σ，形成繁琐的『积的和』形式。
嗯？
「积的和」……吗？
而且是C<k>和C<n－k>这种「标记之和为n」的形式……吗？
原来如此。
我想起自己对蒂蒂说过的话了。
……不要将n－k和k分开思考，而是要想『和就是n』，然后在这个和中从0到n间取平衡……
这次的递推公式也很类似，C<k>和C<n－k>的标记之和为n，然后为了和的平衡，k会在0与n之间变动。
现在知道的递推公式C<n＋1>＝Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>是这样表现的，假如能好好运用Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>作成「积的和」的形式，就可以用这样比较单纯的项置换。
仔细想想，有哪些场合会出现「积的和」。
……将(x＋y)(x＋y)(x＋y)这种「和的积」变成x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>这种「积的和」，这就是展开……
将「和的积」展开，就会变成「积的和」吗？
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