样了。
也就是说连续世界里x<平方>对应的是离散世界的(x－0)(x－1)。
为了让x<n次方>这个乘幂的对应更清楚，就以新的x<n次递降阶乘>这个递降阶乘来思考吧，对应的状况就像这样。
乘幂递降阶乘
x<平方>＝x×xx<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)
若是写得更冗长，就能更清楚地看见对应的关系。
x<平方>＝←→x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)
解答6－2(离散世界的x<平方>)
x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)
在这里使用的递降阶乘xn如下定义。
※※递降阶乘的定义(n为正整数)
x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)…((x－(n－1)))（共n个）
举例来说：
x<1次递降阶乘>＝(x－0)
x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)
x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)
x<4次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)(x－3)
6．3．3三次函数x<立方>
那这次思考f(x)＝x<立方>。
首先是微分。
Df(x)＝Dx<立方>
＝lim<h→0,((x＋h)<立方>)－(x＋0)<立方>))/((x＋h)－(x＋0))>
＝lim<h→0,((x<立方>＋3x<平方>h＋3xh<平方>＋h<立方>)－x<立方>)/h>
＝lim<h→0,(3x<平方>h＋3xh<平方>＋h<立方>)/h>
＝lim<h→0,3x<平方>＋3xh＋h<平方>)>
＝3x<平方>把不包含h的项留下
在离散的世界中，对应x<立方>的是x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)，现在来计算x<立方>的差分。
Δf(x)＝Δx<3次递降阶乘>
＝Δ(x－0)(x－1)(x－2)
＝((x＋1)－0)((x＋1)－1)((x＋1)－2)－((x＋0)－0)((x＋0)－1)((x＋0)－2)
＝(x＋1)(x－0)(x－1)－(x－0)(x－1)(x－2)
＝((x＋1)－(x－2))(x－0)(x－1)提取因式
＝3(x－0)(x－1)
＝3x<平方>
使用递降阶乘x<n次递降阶乘>的话，就能让微分与差分充分对应。
x<立方>←→x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)
Dx<立方>＝3x<平方>←→Δx<3次递降阶乘>＝3x<平方>
广义化。
x<n次方>的微分←→x<n次方>的差分
Dx<n次方>＝nx<n－1次方>←→Δx<n次方>＝nx<n－1次递降阶乘>
6．3．4指数函数e<x次方>
我们对微分算子定义了差分算子，再来为了让微分与差分完：对应，对乘幂x。定义了递降阶乘。
而现在要开始讨论指数函数e<x次方>，也就是寻找离散世界的指数函数。
※※问题6－3
对于连续世界的指数函数e<x次方>，定义离散世界的函数。
指数函数e<x次方>如同式子所示，是定数e的x次方函数，定数e是被称为自然对数的底的无理数。其值为2.718281828……虽然这是一个重要的知识，不过现在要站在更广的视点来看它。
指数函数e，在连续世界中有什么样的性质呢？
在这里稍微思考一下与微分关联的指数函数的本质。
指数函数e<x次方>最重要的性质就是『即使微分仍然不会改变』，也就是微分e<x次方>所得到的函数仍然是e<x次方>，