「微分，简单地说就是变化量吧」，一边在我的笔记本上书写。
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「微分，简单地说就是变化量吧。」
假设以直线上现在的位置为x，设稍微有点距离的地方为x＋h，h不用太大，也就是『最近距离』。
[插图：画一条横向直线，任取一点x，在其右任取一点x＋h]
然后来思考f这个函数的变化吧，对应x的函数f为f(x)，然后对应x＋h的函数f的值为f(x＋h)，接下来注意『当距离为h时，函数f会如何变化』。
为了使对比更加醒目，将0也清楚标明，当现在位置为x＋0时，f的值就是f(x＋0)，当前进到x＋h时，f的值就变成f(x＋h)。
从x＋0前进到x＋h的变化量可以用……
『前进后的位置』－『前进前的位置』
求出来，也就是(x＋h)－(x＋0)等于h，同样地，从x＋0前进到x＋h时的变化量可以用f(x＋h)－f(x＋0)求出。
[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f(x)=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点(x＋0,f(x＋0))，在其右侧任取一点(x＋h,f(x＋h)，则两点之间的横向距离为(x＋h)－(x＋0),纵向距离为f(x＋h)－f(x＋0)]
在这里要调查对x的函数f，也就是调查瞬间的变化，假如x的变化量(x＋h)－(x＋0)变大的话，或许f的变化量也会变大，所以将两者相除得出比例，这个比例相当于上图斜的虚线斜率。
(f的变化量)/(x的变化量)＝(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))
由于想要知道位置x的变化，所以h必须尽可能地小，让h不断地缩小，考虑h→0的极限。
lim<h→0,(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))>
简单地说，这就是函数f的微分，以图形来看，就是与下图的点(x，f(x))的切线斜率，越接近斜率大的右上方，f(x)就增加得越快，也就是说，在那个地点变化量很大。
[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f(x)=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点(x＋0,f(x＋0))，过该点作切线]
对函数f的『微分』写作Df，换句话说，微分算子D定义如下。
※※微分算子D的定义
Df(x)＝lim<x→0,(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))>
也可以定义成下面的式子，毕竟是同样的东西，无论如何，微分算子D就是从函数中再做出函数的高阶函数。
Df(x)＝lim<h→0,(f(x＋h)－f(x))/h>
到目前为止都是关于连续世界的话题，x可以自由地滑动，而现在开始要进入离散世界了，既然是离散的世界，也就是像整数一样只能取个别的值，在连续的世界里，考虑的是将x移动『最近距离』的h在f上的变化量，然后将h→0的极限定义为微分，那么，假如将微分移到离散世界又会如何呢？
问题6－1
对应连续世界的微分算子D，定义离散世界的算子。
6．2差分
……我想着米尔迦的问题，只要在离散的世界里找出相对于连续世界『最近距离』的概念就可以了吧？我环视图书室一圈，然后对坐在身旁的米尔迦说出：「将『最近距离』换成『最近间隔』思考没错吧？」这个答案，她竖起了食指回答：「没错」。
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「没错。」
思考离散世界的时候，x＋0的『最近距离』会变成x＋1的『最近间隔』，不要用h→0，而是用h＝1思考，『最近间隔」就是离散世界的本质，注意到这点讨论就能顺利地展开。
[插图：画2条横向直线，上面一条画为实线，下面一条画为虚线。每条直线上任取一点x，在其右任取一点x＋h，则实线上两点之间的距离为「连续世界的『最近距离』」，虚线上两点之间的距离为「离散世界的『最近间隔』」]
从x＋0到x＋1的变化量就是(x＋1)－(x＋0)，这时函数f的变化量当然就是f(x＋1)－f(x＋0)，在这里也同样取出两者的比例一不过分母原本就是1。
(f(x＋1)－f(x＋0))/((x＋1)－(x＋0))
在离散的世界里没有必要取极限，这个式子就是『离散世界的微分』，也就是差分，差分算子Δ定义如下。
解6－1(差分算子Δ的定义)
Δf(x)＝(f(x＋1)－f(x＋0))/((x＋1)－(x＋0))
也可以写成下式。
Δf(x)＝f(x＋1)－f(x)
间隔的差……确实是名副其实的Δ「差分」演算啊。
[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f(x)=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点(x＋0,f(x＋0))，在其右侧任取一点(x＋1,f(x＋1)，则两点之间的横向距离为(x＋1－(x＋0),纵向距离为f(x＋1)－f(x＋0)]
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