sp; ＝<根号a<平方>c<平方>>因为ac＞0
＝<根号a<平方>(-b)<平方>>因为c＝－b
＝a<平方>b<平方>
「所以下面的式子成立。」
(a<平方>＋b<平方>)/2≥a<平方>b<平方>但a＞0且b＜0
「到这里的讨论是假设『a为正真b为负』，反过来说『a为负，b为正』也一样。根据以上证明，对任意实数a与b，下面的不等式成立。」
(a<平方>＋b<平方>)/2≥a<平方>b<平方>但a跟b为任意实数
蒂蒂看着写在笔记本上的算式陷入沉思，虽然花了一段时间，不；她终于抬起头。
「原来如此，我懂了……啊，还有一点，所谓『任意』是什么意思？」
「所谓『任意』就是『任何其中一个』或是『无论是哪一个』的意思，相当于英文的any，也有用『对所有的……』来表示的方法，英文的话就是「forall」。」
「啊，我知道了，『任意实数』就是指『无论哪一个实数』的意思吧。」
我继续说下去。
「那这里将两边的式子用a<平方>跟b2表示，并将a<平方>跟b<平方>以别的名字表现，把a<平方>设为x，b<平方>设为y，定义式如下。
x＝a<平方>，y＝b<平方>
「由于x和y都是平方数，所以都是0以上。也就是说x≥0且y≥0，所以刚才的不等式就可以如下列式子表示，应该很清楚了，有看过这个式子吧？」
(x+y)/2≥<根号xy>但是x≥0且y≥0
「……我知道，嗯……这是算术平均数与几何平均数的关系！」
「嗯，就是这样，不等式的左边是『两数相加除以2』的算术平均数(x+y)/2，右边是『两数相乘开根号』的几何平均数<根号xy>，所谓算术平均数与几何平均数的关系就是指算术平均数一定不小于几何平均数。」
「是的，居然从r<平方>≥0开始，一直推演到公式出来了。」蒂蒂感慨地说出感想。
「说成『公式』就很容易让人有必须死记的印象，容易产生不易亲近的感觉。但是假如常常做算式变化的练习，这种想法就会渐渐淡化。就像在捏黏土，当你越捏，它就越柔软。」
「喔～～原来公式是自己做出来的。」
「与其说是自己做出来的，还不如说是从算式里导出的，其实在数学课本与回家作业里，也有这种推演算式的题目，以后试着多注意看看，这种推演的问题会出现在课本的例题或是练习题中。」
「这样啊……往后我会注意的，原本提到公式就会有『必须赶快记起来』的感觉呢。」
「算式的推导如果一开始就用死记的方法，反而很难记起来，要自己动手计算，然后理解，这是很重要的，没有理解就死记的话，通常是没有用的。」
「原来如此」……
「话说回来，你知道在算术平均数与几何平均数的关系中，什么时候等号会成立吗？也就是说以下式子成立的时候，x与y是什么样的关系呢？」
(x+y)/2＝<根号xy>
「咦？『x和y都是0的时候』吗？」
「不对……应该说不完全正确。」
「咦？可是当x＝0，y＝0的话，左边和右边都会变成0啊。」
「你的想法是对的，但是不一定要x和y都等于0不可，只要x＝y就好了。」
「咦？是这样吗？那用x＝3，y＝3来确认看看好了。左边是(x+y)/2＝(3+3)/2＝3，右边是<根号xy>＝<根号3×3>……啊，真的耶。」
「嗯，像这样用实例检验是很重要的，『举例是理解的试金石』。」
「那我再用其它的例子试试看，当x＝－2，y＝－2的时候呢？左边是(x+y)/2＝((-2)+(-2))/2＝-2，右边是<根号xy>＝<根号(-2)×(-2)>＝2……咦？错了？」
「蒂蒂，你忘了x≥0且y≥0的条件喔。」
「唉呀，没错没错，我完全漏掉这个条件，一直想东想西地就忘记它了。」
蒂蒂伸出舌头，用手敲了敲自己的头。
「蒂蒂，只要注意到这次是从(a－b)<平方>≥0这个不等式开始，就能知道等号成立的时候是a＝b(也就是x＝y)的时候。」
※※算术平均数与几何平均数的关系
(x+y)/2≥<根号xy>
当且仅当x≥0，y≥0，x＝y的时候等号成立。
5．4更进一步
「现在将算式捏成另外的样子，虽然一直重复会有点烦人，不过要证明算术平均数与几何平均数的关系，其