看着算式的蒂蒂突然抬起头，眨了眨眼睛之后对我笑着，她似乎很高兴。
「是的，没错……不过之后要怎么做呢？」
「嗯，现在开始试着表达式子，例如将－2ab移项到右边看看，移项之后－2ab就变成2ab了。」
a<平方>＋b<平方>≥2ab
「是，这个我懂。」
「再来两边同除以2，然后就会像这样。」
(a<平方>＋b<平方>)/2≥ab
「嗯。」
「这个式子是什么呢？」
「是什么呢？」
「看看左边，会发现(a<平方>＋b<平方>)/2就是a<平方>跟b<平方>的平均。」
「啊……原来如此。这是将a<平方>和b<平方>相加，再除以2。」
「嗯，式子的左边写着a<平方>跟b<平方>，在这里我要将右边的ab也一样用a<平方>跟b<平方>表示。」
「啊、啊」……
「不，没有为什么一定要这样做的规则，只是有时候我会想这样做而已。」
「啊，好的。」
「下一步会稍微跳得有点快，要注意喔。为了将ab以a2跟b2表示，就要变形成下面的算式，你认为这个等式会必然成立吗？」
ab＝<根号a<平方>b<平方>>(？)
「这个……平方之后就可以拿掉根号，拿掉根号之后，会回复原来的样子』对，我想应该是必然成立。」
「不，不对，平方去掉根号之后会回复原状的只有0以上的数，ab有可能是负数，所以若是没有设立条件的话这个等式不会成立。」
「唉呀，疏忽条件了。」
「是啊，假设以a＝2和b＝－2来想就知道了。左边是ab＝2×(－2)＝－4，右边却是<根号a<平方>b<平方>>＝<根号2<平方>(-2)<平方>>＝<根号16>＝4。」
「真的是这样」……蒂蒂一边确认我写的计算式，一边点头。
「那这次就加上条件，加上ab≥0这个条件的话，下面的等式就会成立了。」
ab＝<根号a<平方>b<平方>>但是ab≥0
「然后将刚才的不等式，(a<平方>＋b<平方>)/2≥ab写成……」
(a<平方>＋b<平方>)/2≥<根号a<平方>b<平方>>但是ab≥0
「好的」……虽然蒂蒂这样回答，不过她仍旧专心地思考。
「……等一下，学长，这里怪怪的。这ab≥0的条件是必要的吗？我还是不懂，当ab＜0的时候，这个等式不是也会成立吗？就像下面这个例子，当a＝2而b＝－2时，左右两边会分别如下。」
左边＝(a<平方>＋b<平方>)/2
＝(2<平方>＋(-2)<平方>)/2
＝4
右边＝<根号a<平方>b<平方>>
＝<根号2<平方>(-2)<平方>>
＝<根号16>
＝4
「所以左边≥右边会成立喔，学长。」
「真亏你能发现呢，蒂蒂，确实不附上ab≥0这个条件好像也可以，不过要怎么取消这个条件呢？」
蒂蒂想了一下，最后摇摇头。
「……不知道。」
「要取消ab≥0这个条件，就必须证明即使ab＜0，这个不等式也会成立。」
「ab＜0的时候，a与b其中一边是正的，另一边是负的，那先假定。a＞0与b＜0好了，现在以满足c＝－b的数c思考，因为b＜0，所以c＞0，由于(a<平方>＋b<平方>)/2≥ab对任何实数均成立，所以对a和c也成立，所以下式成立。」
(a<平方>＋c<平方>)/2≥ac
「然后将左右分开来看。」
左边＝(a<平方>＋c<平方>)/2
＝(a<平方>＋(-b)<平方>)/2因为c＝－b
＝(a<平方>＋b<平方>)/2
右边＝ac
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