x<1次方>，x<0次方>的式子吧。
式子A：F(x)×x<平方>＝＋F<0>x<平方>＋F<1>x<立方>＋F<2>x<4次方>＋……
式子B：F(x)×x<1次方>＝＋F<0>x<1次方>＋F<1>x<平方>＋F<2>x<立方>＋F<3>x<4次方>＋……
式子C：F(x)×x<0次方>＝F<0>x<0次方>＋F<1>x<1次方>＋F<2>x<平方>＋F<3>x<立方>＋F<4>x<4次方>＋……
这样次方就整合了，展开式A，B，C进行接下来的计算，如此一来，同次方的系数就可以使用F(x)的递推公式。
式子A＋式子B－式子C
计算的时候，将左边如下处理。
(左边)＝F(x)×x<平方>＋F(x)×x<1次方>－F(x)×x<0次方>
＝F(x)×(x<平方>＋x<1次方>－x<0次方>)
然后右边如下。
(右边)＝F<0>x<1>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>
＋(F<0>＋F<1>－F<2>)×x<平方>
＋(F<1>＋F<2>－F<3>)×x<立方>
＋(F<2>＋F<3>－F<4>)×x<4次方>
＋………………
＋(F<n－2>＋F<n－1>－F<n>)×x<n次方>
＋……
右边留下一开始的F<0>x<1次方>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>，其它会被全部消去，这是因为依照斐波那契数列的递推公式，F<0>x<1次方>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>会等于0。可以爽快地将它们消掉。
已经不需要用x<0次方>或x<1次方>这种麻烦的写法了，回到1与x，然后用F<0>＝0与F<1>＝1代入，会得到下列式子。
F(x)×(x<平方>＋x－1)＝－x
将两边同除x<平方>＋x－1后整理，就得到F(x)的闭公式，这就是F(x)的模样。
F(x)＝x/(1－x－x<平方>)
斐波那契数列的生成函数可以变成如此单纯的闭公式真是令人愉快，毕竟这个算式中可是包含了无限延伸的斐波那契数列，很简洁吧。
0，1，1，2，3，5，8，……←→x/(1－x－x<平方>)
※※斐波那契数列的生成函数F(x)的闭公式
F(x)＝x/(1－x－x<平方>)
4．2．4用无穷级数表示
接下来我们思考斐波那契数列的生成函数F(x)，将F(x)的闭公式以x的无穷级数表示的话，其n次的系数应该就会变成Fn。
「所以说，下一个目标就是将下式以x的无穷级数表现。
x/(1－x－x<平方>)
我们之前曾将分数形式的下式化成x的无穷级数。
1/(1－x)＝1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……
所以，是否能将x/(1－x－x<平方>)化成与1/(1－x)类似的形式呢？假如可以的话，我们就能从生成函数的国度回到数列的国度了，还会带着斐波那契数列的一般项当作土产，到底有没有办法呢？」
◎◎◎
……米尔迦偷偷往我看来。对了，再来将生成函数F(x)以无穷函数的形式表示的话，就能得到斐波那契数列的一般项吧，我专注在生成函数的形式上，想将它的构造看透。
F(x)＝x/(1－x－x<平方>)
分母1－x－x<平方>为二次式，总之先将1－x－x<平方>因式分解看看，我开始在笔记本上计算，米尔迦只是看着我动笔。
假设未知的定数r，s，可将1－x－x<平方>如下因式分解。
1－x－x<平方>＝(1－rx)(1－sx)
当如上因式分解后，就可以如下让分数和在通分时，刚好使分母为1－x－x<平方>。