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0，1，0＋1＝1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5。3＋5＝8，……
虽然也有从1开始的情况，不过现在就从0开始。
将斐波那契数列的一般项设为F<n>F<0>等于0，F<1>等于1，当n≥2时，F<n>＝Fn－2＋F<n－1>，也就是说F<n>被定义为一种递推公式。
※※斐波那契数列的定义(递推公式)
F<n>＝0(n＝0)
F<n>＝1(n＝1)
F<n>＝Fn－2＋F<n－1>(n≥2)
这个定义能将斐波那契数列『相邻的两项相加而得到下一个数』的特性充分展现，而且如同F<0>，F<1>，F<2>，……一样，斐波那契数列可以用计算循序渐进算出答案，但是并无法表现出F<n>为『对n的闭公式』，也就是F<n>并不是直接使用n的式子，这就是我所说『未捕捉』的状态。
当问题是「斐波那契数列的第1000项为何？」时，就必须以F<0>＋F<1>求得F<2>，F<1>＋F<2>求得F<3>，持续计算到F<998>＋F<999>最后得出F<1000>，要用递推公式求斐波那契数列就必须经过n－1次的加法，这样太麻烦了，我希望能以F<n>表示『对n的闭公式』，『对n的闭公式』概略来讲就是『将已知的计算过程在有限的次数内组合而成的公式』。
我希望以F<1>表示『对n的闭公式』，来抓住斐波那契数列。
※※问题4－1
以斐波那契数列的一般项F<n>表示『对n的闭公式』。
4．2．2斐波那契数列的生成函数
那么，将斐波那契数列对应的生成函数当作F(x)，也就是说，对应关系如下：
数列←→生成函数
F<0>，F<1>，F<2>，F<3>，……F(x)
将F(x)的系数x<n>设为F<n>，可以具体地写成下列算式，这样我们就到了生成函数的国度了。
F(x)＝F<0>x<0次方>＋F<1>x<1次方>＋F<2>x<平方>＋F<3>x<立方>＋F<4>x<4次方>＋……
＝0x<0次方>＋1x<1次方>＋1x<平方>＋2x<立方>＋3x<4次方>＋……
＝x＋x<平方>＋2x<立方>＋3x<4次方>＋……
接着要调查函数F(x)的性质，由于函数F(x)的系数Fn是斐波那契数列，活用这一点似乎就可以看出关于函数F(x)的有趣性质。
斐波那契数列的性质是什么？当然是递推公式F<n>＝F<n－2>＋F<n－1>，要好好利用这个公式，F<n－2>，F<n－1>，F<n>，这些系数则在F(x)如下登场。
F(x)＝……＋Fn－2－2x<n－2次方>＋F<n－1>x<n－1次方>＋F<n>x<n次方>＋……
虽然想将Fn－2跟F<n－1>相加，但是由于x的次数不同而无法相加，到底该怎么办？
◎◎◎
……米尔迦看向我。嗯，的确，x的次方不同的话就无法相加，数不同就无法整合，不过本来数列与生成函数的对应，就是要避免x的次数混淆吧？数列与生成函数要如何对应，真的会有这么有趣的事情发生吗？米尔迦马上说出『很简单』这句话。
4．2．3求闭公式
「很简单。」
x的次方不同的话，就将不是的部分补上x就好了，乘法在指数上就变成加法，也就是所谓的指数法则。
x<n－2次方>×x<平方>＝x<n－2+2次方>＝x<n次方>
将F<n－2>x<n－2次方>乘以x<平方>就会变成Fn－2x<n次方>，照下面算式就能全部整合成x<n次方>，为了方便整合，这里将1视为x<0次方>。
F<n－2>x<n－2次方>×x<2>＝F<n－2>x<n次方>
F<n－1>x<n－1次方>×x<1>＝F<n－1>x<n次方>
F<n－0>x<n－0次方>×x<0>＝F<n－0>x<n次方>
这样就能对函数F(x)使用斐波那契数列的递推公式了，分别观察F(x)乘以x<平方>，