;＋……＝1/(1－x)
这是第0项为1，公比为x的等比级数，且|x|＜1。
「你不觉得很有趣吗？左边是无穷数列的和，有无限个项，而且还无法全部写出来。可是相对的，右边却只有一个分数，无数项的和竟然以一个分数表现就可以了，这不是简洁到令人愉快吗？」
◎◎◎
……窗外已经渐渐暗了下来，图书室里只剩下我和米尔迦，米尔迦似乎是兴致来了，不等我回答就接着说：「接下来就继续朝生成函数前进吧。」
4．1．4迈向生成函数
「接下来就继续朝生成函数前进吧。」
以后就省略了收敛的条件，首先将刚才等比级数的无穷级数当成x的函数思考。
1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……
在这里为了要让此函数的n次系数更明显，所以将系数写出来。
1x<0次方>＋1x<1次方>＋1x<平方>＋1x<立方>＋……
像这样，各系数就形成了1，1，1，1，……的无穷数列，接下来的对应是……
数列←→函数
1，1，1，1，……←→1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……
也就是说，数列〈1，1，1，1，……〉与1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……函数可以当成是一样的，由于1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/(1－x)，所以将其如下置换。
数列←→函数
1，1，1，1，……←→1/(1－x)
这种数列与函数的对应可以如下广义化。
数列←→函数
〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
这种与数列对应的函数称为生成函数，就是将分散的无数项集合成一个函数，生成函数即是x乘幂的无限和，也就是被定义为幂级数……
◎◎◎
……说到这里，米尔迦意外地安静下来，她像在思索似地保持沉默闭上双眼、缓缓地呼吸。
为了不打扰她，我只是在一旁静静地看着，看着她嘴唇美好的曲线、数列与对应的函数、金属框的眼镜、等比数列的无穷级数……以及生成函数。
米尔迦张开双眼。
「现在是在思考数列与对应的生成函数……吧？」米尔迦以温柔和缓的声音说着，」若是能求出生成函数的闭公式，则此闭公式也会与数列对应。」
「所以我稍微想了一下……」她说着说着，声音也像是在透露不能被别人知道的宝藏场所一样渐渐变小，并将脸靠近我，可以闻到她身上淡淡的橘子香。
「从现在开始，要在两个国度间来回奔跑。」米尔迦细语。
为了不听漏这些秘密的话语，我竖起耳朵，不过……两个国度？
「我想抓住数列，但是要直接抓住是很困难的，这时候就要从『数列的国度』到『生成函数的国度』，之后再回到『数列的国度』，这样或许就能抓到数列……」
「现在是闭校时间。」
突如其来的声音让我们都吓了一跳，凑在一起专心讨论的我们完全没有注意到图书管理员瑞谷老师站在我们身后。
※※数列与生成函数的对应
数列←→函数
〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
4．2抓住斐波那契数列
这是我们往附近的饮料店移动，点了饮料后继续数列的话题，「抓住数列？什么意思？两个国度又是什么？」对于我的疑问，米尔迦用手扶正眼镜，说了声「是啊」后开始讲解。
4．2．1斐波那契数列
「是啊，这比喻是稍微异想天开了点。『在两个国度间来回抓住数列』就是『使用生成函数求出数列的一般项』的意思。」
现在来看看旅行地图吧，首先先求与数列对应的生成函数，再来将生成函数变形做出闭公式，然后将闭公式以幂级数展开求取数列的一般项，也就是说，经由生成函数可以发现数列的一般项。
※※『使用生成函数求出数列的一般项』的旅行地图
数列→生成函数
↓
数列的一般项←生成函数的闭公式
那么就以典型的斐波那契数列来思考，你知道斐波那契数列吧。
{0，1，1，2，3，5，8，……}
这是将临接的两项相加而得到下一个数的数列。