emsp;我回答因为学妹有问题所以教她……
米尔迦哼了一声，还将我手里的自动铅笔拿走，在笔记本上不停写着，然后说：「来寻找规律吧。」
4．1．1寻找规律
「来寻找规律吧。」最先是(1＋x)(1－x)的展开，这是(a＋b)(a－b)的特殊状况。
(1＋x)(1－x)＝(1＋x)×1－{1＋x)×x
＝(1＋x)－(x＋x<平方>)
＝1＋(x－x)－x<平方>
＝1－x<平方>
接下来将算式(1＋x)(1－x)中的(1＋x)以(1＋x＋x<平方>)代入。
(1＋x＋x<平方>)(1－x)＝(1＋x＋x<平方>)×1－(1＋x＋x<平方>)×x
＝(1＋x＋x<平方>)－(x＋x<平方>＋x<立方>)
＝1＋(x－x)＋(x<平方>－x<平方>)－x<立方>
＝1－x<立方>
规律很明显，中间项都消去了，只剩下三次项和常数项，用笔算的话会更容易理解，例如(1＋x＋x2＋x3)(1－x)会变成下列所示，明显地只剩下两项。
1＋x＋x<平方>＋x<立方>
×1－x——
－x－x<平方>－x<立方>－x<4次方>
1＋x＋x<平方>＋x<立方>——
1－x<4次方>
将其广义化，令n为0以上的数，之后则如下所示。
(1)(1－x)＝1－x1
(1＋x)(1－x)＝1－x<平方>
(1＋x＋x<平方>)(1－x)＝1－x<立方>
(1＋x＋x<平方>＋x<立方>)(1－x)＝1－x<4次方>
.
.
.
(1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>)(1－x)＝1－x<n次方>＋1
◎◎◎
……原来如此，不过这并没有想象中有趣，是很常见的展开与广义化，比起这个，我更在意刚刚被踢椅子的蒂蒂现在的状况，米尔迦却说出『到这里为止都很普通』后，就继续写下去。
4．1．2等比数列的和
「到这里为止都很普通。」那么接下来会怎么进行呢？将刚才的算式再写一次。
(1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>)(1－x)＝1－x<n次方>＋1
在这里将两边同除1－x，由于0不能当除数，所以假设1－x≠0。
1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>＝
到刚才为止都是关于『求积的公式』，而现在则是『求和的公式』:实际上，这就是等比数列的求和公式，说得更清楚一点，是第0项为1，公比为x的等比数列，也就是1，x，x<平方>，x<立方>，……，x<n次方>，……这个数列从第0项到第n项的和。
「那么，接下来要怎么发展呢？」
◎◎◎
……我则是回答『会自然想到等比数列的无穷级数吧』，不是到第n项为止的有限和，而是无限的和。「是啊。」米尔迦微笑着回答我。
4．1．3迈向无穷级数
「是啊，思考无穷级数吧。」
无穷级数1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……，被定义为这个等比数列部分和的极限。
1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>＝(1－x<n+1次方>)/(1－x)
当x的绝对值小于1，也就是|x|＜1时，使n→∞的话，会让x<n次方>＋1→0，也就是下式成立。
1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/(1－x)
这样就得到了无穷级数的公式，|x|＜1是为了在n→∞时，让x<n次方>＋1→0必要条件。
※※等比数列的无穷级数(等比级数的公式)
1＋x＋x<平方>＋x<立方>