且都与无穷大有关。当时人们对无穷大的运算尚没有明确的认知，导致了这些悖论的出现。
阿基里斯与乌龟悖论的叙述在文中已出现，此处不再重复。显然，阿基里斯是能追上乌龟的。那么它该如何得到解决呢？浜村渚提到使用“等比级数”，指的是无限等比数列的求和。可以证明，公比（后一项与前一项之比）的绝对值小于1的等比数列之和是一个有限值，称为等比级数收敛。有人可能会疑惑：无限多个数加在一起，和为什么是有限的呢？这个问题涉及到极限的概念。18世纪的数学家柯西与魏尔斯特拉斯建立了极限理论，从根本上解决了关于无穷级数之和的问题。简单而言，当求和的项数足够多时，最后几项的有无对数列和的影响小到可以忽略不计，则认为和不再改变，是一个定值，这个定值就被称为和式的极限。极限理论是微积分的基石，有了它，微积分才得以成为一个有严格定义的学科。
* 洛必达侯爵的定理
指法国数学家洛必达(Guillaume de L'Hospital, 1661-1704, 又译罗必塔)提出的、用于计算两个趋于零或无穷大的函数之比的方法，在我国高等数学教科书中一般被称为洛必达法则。两个函数的极限为零或无穷大，当二者的比值（被称为不定式）的极限存在时，洛必达法则给出了一个计算这类极限的简单有效的方法。（莲子八卦：实际上这是瑞士数学家伯努利首创的，他通过信件教给了他的学生洛必达，后者在1696年《无穷小分析》一书中首先公开论述）不定式极限的计算有重要的实际意义，如函数的导数便是两个无穷小量（极限为零的函数）之比的极限。
* 佩尔方程式与费马
佩尔方程式(Pell's equation)指形如以下的丢番图方程（整数多项式方程）：
x^2-D·y^2=1
其中，x, y, D∈Z，且D为非平方数（即无法表示为一个整数的平方）。
佩尔方程式最早可追溯到公元前400年的印度与希腊，当时的人们便已使用x^2-2y^2=1的解来逼近√2的值。后来，在“阿基米德的牛栏”问题中，再次出现了D=4729494对应的方程。公元1150年，印度数学家婆什迦罗二世(Bhaskara II)首次给出了佩尔方程式的一般解法。沉寂了数百年后，17世纪，欧洲的数学家再次发现了该方程，并对一些特殊情况给出了解，其中便包括费马，后者得到了D≤150时的最小整数解，并以求解D=151时的问题向其他数学家挑战（莲子：那个时候的数学家们很喜欢这么玩），英国数学家威廉·布龙克尔(William Brouncker)给出了解和解法。瑞典数学家约翰·拉恩(Johann Rahn)在著书《代数(Tetsche Algebra)》种论述了布龙克尔的解法，后被英国数学家托马斯·布兰克(Thomas Branker)译为英文，并由约翰·佩尔(John Pell)审订。然而，欧拉却误以为该方法由佩尔提出，故将此方程命名为佩尔方程，而沿用至今。佩尔方程的一般理论由法国数学家拉格朗日(Lagrange)于18世纪60年代给出。
* 爱德华·卢卡斯，汉诺塔，递推公式
汉诺塔(Tower of Hanoi)是法国数学家爱德华·卢卡斯(Edouard Lucas)在1883年编出来的一个故事。故事说，某个寺庙里放着三根立柱，其中一根立柱上套有64个大小不一的圆盘，越是上面的圆盘越小。寺庙里的僧人昼夜不停地在立柱之间移动圆盘，同时保证大的圆盘永远不放在小的圆盘上面。传说当把64个圆盘从一根立柱全部移动到另一根立柱时，世界将迎来终结。
这个故事有很多种版本，不同版本之间的差别包括：它发生在印度的寺庙还是越南的汉诺（即今天的河内市），柱子是在寺庙里还是塔里，移动圆盘的是神父还是僧侣，等等。当然这些细节无关紧要，因为它们不影响故事的核心：三根柱子，64个圆盘，以及世界末日。
为什么说移完圆盘世界就完了呢？我们来看一看移动这些圆盘需要多少步。对于只有三个或四个圆盘的情况，步骤不难想象；问题在于如何推广到有n个圆盘的情况。设移动n-1个圆盘需要a{n-1}步。对于n个圆盘，问题可以分解为三个阶段：
(i) 把上面的n-1个圆盘全部移到第二根立柱上，用了a{n-1}步；
(ii) 把第n个圆盘移到第三根立柱上，用了1步；
(iii) 把第二根立柱上的n-1个圆盘移到第三根立柱上，用了a{n-1}步。
即，移动n个圆盘共需要a{n}=a{n-1}+1+a{n-1}=2a{n-1}+1步。因为n可以是任意正整数，a{n}构成一个数列，根据上面的等式，若已知数列中的任意一项，便可求出它的下一项，这个等式便称为递推公式。当n=1时，只有一个圆盘，移动只需1步，即a{1}=1。a{1}被称为数列的首项。已知首项和递推公式，我们就可以得到整个数列。
现在我们来求a{n}不依赖于前一项、而只依赖于项数n的表达式，这被称为通项公式。在递推公式的等号两边加1，得：
a{n}+1=2·a{n-1}+2=2·(a{n-1}+1)
若我们把a{n}+1看作一个新的数列b{n}，上式可以写成
b{n}=2·b{n-1}
由b{n}=a{n}+1，可求得b{n}的首项b{1}=a{1}+1=2。即，b{n}是一个首项为2、公比为2的等比数列。我们可以很容易地写出它的通项公式：
b{n}=2^n
于是
a{n}=2^n-1
即，移动n个圆盘需要2^n-1步。当n=64时，所需步数等于
a{64}=2^64-1=1844 6744 0737 0955 1615
如果僧侣们（或者神父们，谁都行）移动一步需要1秒，